ラゲールの陪多項式[fortran]

本稿では、ラゲールの陪多項式について、説明します。

ラゲールの陪多項式は下記微分方程式を満たす多項式です。

\[
\bigl( x \frac{d^{k+2}}{dx^{k+2}} + (1+k-x) \frac{d}{dx} + (n-k) \bigr)L^k_n(x) = 0
\]

の解となる多項式です。記号で書くと、\(L^k_n(x)\)と書きます。

ラゲール多項式は、下記条件を満たします。定義は諸説ありますが、[1-2]を参照しています。

1:漸化式

\[
(n+1)L^k_{n+1}(x) = (2n + k + 1 -x)L_n(x) – (n+k)2L^k_{n-1}(x)
\]

2:微分式その1

\[
x\frac{d}{dx}L^k_n(x) = nL^k_n(x) – (n+k)L^k_n(x)
\]

3:微分式その2
漸化式の結果を用いて、微分式を再度記述すると、下記のように記述でき、ノード(n-1)を扱わずに済む。
これは、数値計算を行う上で、とてもありがたいことです[3]。

\[
x\frac{d}{dx}L^k_n(x) = (n+1)L^k_n(x) -(n+k+1-x)L^k_n(x)
\]

4:直交性

\[
\int_0^\infty dx
x^k L^k_n(x)L^k_m(x) \mathrm{e}^{-x} = \delta_{nm}(\frac{\Gamma(n+k+1)}{\Gamma(n+1)})
\]

ノルムの部分はガンマ関数です。ガンマ関数は、その値が整数の時、(引数-1)!と等価を意味します。
今回は整数を取り扱っているので、これで構いません。ただし、球対称の調和振動子Schrödinger方程式を解いた時の解は、\( k = l_\alpha + 1/2 \)が現れるため、n+1/2のガンマ関数の計算をする必要があります。

では、作成したソースコードを条件１(漸化式)を満たすように作成します。
その後、直交性と微分方程式を満たしていることを確認します。

ラゲールの陪多項式のファンクションソースコード

function Lnk(n,k,x)
  implicit none
  double precision Lnk,x,k
  integer*4 n,i
  double precision Lnk0,Lnk1,Lnk2
    if(n == 0) then
        Lnk = 1.d0
    else if(n == 1) then
        Lnk = 1.d0 + k - x
    else
        Lnk0 = 1.d0
        Lnk1 = 1.d0 + k - x
        do i = 2,n,1
          Lnk2 = Lnk1
          Lnk1 = -((x-2.d0*dble(i)- k + 1.d0)*Lnk1+(dble(i)+k-1.d0)*Lnk0)/dble(i)
          Lnk0 = Lnk2
        enddo
        Lnk = Lnk1
    endif
end function Lnk

積分結果(直交性の確認)半無限積分のため、ガウス・ラゲールの求積法を使用します[4]。