ラゲール多項式[fortran]

本稿では、ラゲール多項式について説明します。ラゲール多項式は、微分方程式

\[
\bigl( x \frac{d^2}{dx^2} + (1-x) \frac{d}{dx} + n \bigr)L_n(x) = 0
\]

の解となる多項式です。記号で書くと、\(L_n(x)\)と書きます。

ラゲール多項式は、下記条件を満たします。定義は諸説ありますが、今回は[2]を参照しています。

1:漸化式

\[
L_{n+1}(x) = (2n + 1 -x)L_n(x) – n^2L_{n-1}(x)
\]

2:直交性

\[
\int_0^\infty dxL_n(x)L_m(x) \mathrm{e}^{-x}= \delta_{nm}(n!)
\]

では、作成したソースコードを条件１(漸化式)を満たすように作成します。
その後、直交性と微分方程式を満たしていることを確認します。

まずは、直交性。半無限積分のため、ガウス・ラゲールの求積法 [1] を用います。
ガウス・ラゲールの求積法については、別途記事を作成します。

ラゲールの多項式のファンクションソースコード

function Ln(n,x)
    implicit none
    double precision Ln,x,L0,L1,L2
    integer*4 n,id
    if (n ==0) then
        Ln = 1.d0
        return
    endif
    if (n == 1) then
        Ln = -x + 1.d0
        return
    endif
    if (n >= 2) then
        L0 = 1.d0
        L1 = -x + 1.d0
        do id = 2,n
            L2 = (2.d0*(id-1)+1-x)*L1 - dble((id-1)*(id-1))*L0
            L0 = L1
            L1 = L2
        enddo
        Ln = L2
        return
    endif
end function

積分結果

次に、微分方程式の解となっていることを確認します。
これは実は手で解けるので、あまり計算機的に解くのはお勧めしませんが、
値が確かであることを確認するためであれば、計算機的に解くことは問題ありません

微分方程式への代入結果

このように、ラゲール多項式が微分方程式の解となり、直交性を満たすことが確認できました。

[1] T.TAGUCHI 技術評論社 Fortranハンドブック」(2015)
[2] S.MORIGUCHI et. al. 岩波書店「特殊函数 岩波 数学公式3」(1987).
[3] S.OKABE 近代科学社 「量子論 運動と方法 シミュレーション物理学5」(1992).